Hijo de Juan Rumeu y María África de Armas. Estudió en la Universidad de Madrid, donde obtuvo los grados de Licenciado en Derecho (1930) y Filosofía y Letras (1931) y Doctor en ambas titulaciones, en la de Filosofía y Letras con una tesis leída en 1935 bajo la dirección de Pío Zabala y publicada en 1940 bajo el título Historia de la censura literaria gubernativa en España, con especial referencia al siglo XVIII. Catedrático de Geografía e Historia de Bachillerato (1940), obtuvo por oposición la cátedra de Historia de España de la Universidad de Granada (1942), trasladándose el mismo año a la Universidad de Barcelona y en 1950 a la de Madrid, donde profesó hasta su jubilación en octubre de 1982. Fue excelente profesor y conferenciante que también ejerció en la Escuela Diplomática y en la Escuela de Guerra Naval durante muchos años. Desde 1943 colaboró con el Consejo Superior de Investigaciones Científicas, especialmente con su Instituto de Historia “Jerónimo Zurita”, del que fue director así como de su revista Hispania. Fundó también en 1955 y dirigió durante medio siglo el Anuario de Estudios Atlánticos dedicado especialmente a la historia de las Islas Canarias. El 13 de diciembre de 1968 fue elegido académico numerario de la Real Academia de la Historia y leyó su discurso de ingreso el 22 de septiembre de 1970 sobre Hernando Colón, historiador de América, al que respondió Jesús Pabón. Fue director de la Academia en dos ocasiones (1986-1989 y 1995-1998), organizó en ella el primer Congreso de Academias Iberoamericanas de la Historia y el memorable Congreso de Historia del Descubrimiento (Madrid, 1992, 4 vols.), además de escribir un libro de referencia sobre la historia y presente de la Academia (Madrid, 2001). Recibió el premio de investigación “Antonio de Nebrija” (1945), el Nacional de Literatura (1953), la encomienda de la Orden de Isabel la Católica, la gran cruz de la Orden de Alfonso X el Sabio y el doctorado honoris causa por las universidades de La Laguna (1998) y Politécnica de Madrid. Antonio Rumeu estuvo casado con María Dolores Soldevilla Cuervo-Arango; el matrimonio tuvo dos hijos y tres hijas.
La abundante obra escrita del profesor Rumeu se articula en torno a varios ámbitos principales de interés, en publicaciones que se suceden desde 1940 hasta 2006. Durante sus primeros años de investigación abordó importantes temas generales relativos a la censura literaria en España (1940) y, especialmente, a la historia de la previsión social (1942). Uno de sus campos de investigación permanentes, sobre el que publicó obras fundamentales desde 1944, fue el americanismo en relación con Colón, la expansión atlántica y la política indigenista, especialmente durante la época de los Reyes Católicos. Otro, muy próximo al anterior, lo muestra como gran renovador de las investigaciones sobre historia de las Islas Canarias y del África atlántica, especialmente entre los siglos XIV y XVI, tanto a través de libros básicos y artículos publicados en el Anuario de Estudios Atlánticos como de una nutrida obra de divulgación en la prensa de las Islas. Fue también gran conocedor de la época de la Ilustración española y dedicó varios trabajos extensos a los protagonistas de sus innovaciones científicas, tecnológicas y culturales. Sus libros y artículos son puntos de referencia permanentes por la solidez de su base documental y erudita, por la claridad de sus análisis y por su notable calidad literaria.
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